Главная Страхование Страхування - Осадець С.С.

Страхування - Осадець С.С.

18.3. Визначення тарифів за договорами загального страхування

Класичний підхід до визначення тарифів. Під договорами загального страхування розумітимемо договори страхування, які не є договорами страхування життя. Договори загального страхування характеризуються відносно коротким терміном дії договору — від кількох днів до одного року. Ця особливість визначає характерні особливості розрахунку страхових тарифів за такими договорами:

• обчислюється розмір лише разової страхової премії;
• не враховується можливий інвестиційний прибуток від розміщення тимчасово вільних коштів страхових резервів із цих видів страхування.

При розрахунку нетто-премії за договорами загального страхування вважають, що розмір N разової нетто-премії виражає еквівалентність зобов’язань страховика та страхувальників і пропорційна до страхової суми S:

,

де коефіцієнт пропорційності Т називають нетто-тарифом, або нетто-ставкою.

Брутто-премія B, або просто страхова премія, пропорційна нетто-премії N:

,

де коефіцієнт пропорційності a (a > 1) містить частку f навантаження (адміністративні витрати, комісійні, плановий прибуток страховика) і визначається співвідношенням

.

Для визначення структури нетто-тарифу за договором загального страхування розглянемо гіпотетичний випадок, коли відома вся необхідна для розрахунків інформація.

Приклад. Припустимо, що при проведенні страхування визначеного ризику (наприклад, майнове страхування будівель від стихійного лиха) протягом фіксованого проміжку часу Dt (наприклад, одного року) страховиком заплановано:

• проведення страхування за n (n = 1, 2, …) договорами зі страховими сумами S1, S2, S3, …, Sn відповідно;
• настання за цими договорами m страхових випадків зі страховими виплатами , , , …, .

Визначимо розмір нетто-тарифу при страхуванні ризику, який відповідав би взятим зобов’язанням страховика з названих видів страхування.

У розглянутому випадку нетто-тариф можемо визначити на підставі загального принципу еквівалентності зобов’язань страховика та страхувальників. зобов’язання страховика дорівнюють сумі страхових відшкодувань

,

а зобов’язання страхувальників — сумі внесених нетто-премій

де T0 — нетто-тариф, який потрібно визначити. Значення T0 в даному прикладі можемо знайти з рівняння балансу зобов’язань страховика та страхувальників:

,

або

.

У цьому балансовому співвідношенні зручно виконати усереднення за договорами страхування, поділивши обидві частини останнього на mn:

,

а далі, ввівши значення — середньої страхової виплати та значення — середньої страхової суми на один договір

, ,

перейти до співвідношення

,

звідки знаходимо шукане значення нетто-тарифу

.

Останню рівність записують, як правило, у вигляді

,

тобто виражають нетто-тариф при страхуванні визначеного ризику через два основні параметри:

• коефіцієнт збитковості за даним страховим ризиком

;

• відносну частоту настання страхової події за даним страховим ризиком

.

Наведені співвідношення вирішують поставлене завдання і дають змогу розраховувати нетто-тариф при страхуванні визначеного ризику лише у апостеріорному (післядослідному) випадку, коли відома вся необхідна інформація, а саме — відомі значення параметрів n, m, , або Kзб, w. На практиці при апріорному (до початку досліду) визначенні тарифів жодний із цих параметрів не відомий і всі вони є випадковими додатними величинами. Але наведений приклад та отримані співвідношення мають важливе значення для перевірки і коригування за результатами страхової діяльності правильності апріорного визначення тарифів. Саме ці співвідношення вказують на необхідність у діяльності кожної страхової компанії постійного спостереження та аналізу значень параметрів Kзб, w за прийнятим на страхування ризиком і дають змогу періодично коригувати наперед визначені для такого ризику тарифні ставки.

При апріорному визначенні нетто-тарифу у загальному випадку розглянутої моделі страхових відшкодувань у співвідношенні T0 = Kзбw потрібно розв’язати суперечність, яка полягає в тому, що ліва частина (нетто-тариф) має бути наперед визначеною фіксованою величиною, а права частина є випадкова величина, значення якої можуть істотно змінюватися в різні періоди діяльності страховика.

Для розв’язання цієї суперечності широке застосування набув метод, який ґрунтується на тому, що замість випадкової величини достатньо взяти її найбільше можливе із заданою довірчою ймовірністю значення.

Такий підхід визначає структуру нетто-тарифу за договором загального страхування:

,

де T0 = M [Kзбw] — основна частина нетто-тарифу (математичне сподівання величини збитків з одиниці страхової суми в разі великої кількості договорів страхування за визначеним ризиком);

Tр = T0J — ризикова (страхова) надбавка до основної частини нетто-тарифу, яка із заданою довірчою ймовірністю враховує можливі небажані відхилення J відносної величини виплат і обчислюється за формулою:

,

де n — кількість договорів страхування за визначеним ризиком, що планується;

p — імовірність настання страхової події за визначеним ризиком.

За законом великих чисел при великих значеннях n випадкова величина w прямує з імовірністю одиниця до значення р теоретичної імовірності настання страхової події за визначеним ризиком і p = M[w].

Отже, нетто-тариф при страхуванні виділеного ризику розраховується із заданою довірчою ймовірністю g за формулою

,

де tg — квантиль рівня g нормального розподілу;

n — кількість договорів страхування за визначеним ризиком, що планується;

p — ймовірність настання страхової події за визначеним ризиком;

M[Kзб] — математичне сподівання збитковості.

Математичне сподівання величини Kзб для визначеного ризику практично не змінюється і може бути визначено так:

• 0,3 — при страхуванні від нещасних випадків та хвороби;
• 0,4 — при страхуванні засобів наземного транспорту;
• 0,5 — при страхуванні вантажів та майна (крім засобів транспорту);
• 0,6 — при страхуванні засобів повітряного та водного транспорту;
• 0,7 — при страхуванні відповідальності власників автотранспортних засобів та інших видів відповідальності, а також при страхуванні фінансових ризиків.

Для обчислення нетто-премії за договором страхування визначеного ризику слід нетто-тариф помножити на страхову суму: N = ST.

Зауважимо, що величина нетто-тарифу істотно залежить:

• від запланованої кількості договорів страхування за визначеним ризиком і зменшується з їх зростанням до математичного сподівання величини збитків з одиниці страхової суми;
• від значення довірчої ймовірності шуканого тарифу і зростає з наближенням цього значення до одиниці;
• від точності вибору значення коефіцієнта збитковості.

Страхові тарифи в індивідуальній моделі ризику. Наведені формули у явному вигляді виражають класичний підхід розрахунку нетто-тарифу для страхового ризику за наявності мінімальної інформації про можливі майбутні страхові виплати. Якщо відомі додаткові статистичні дані про процес настання страхової події, можливе застосування більш точних методів обчислення страхових тарифів.

Для розв’язання відповідних задач вводять різні статистичні моделі страхових ризиків і розглядають відповідні моделі розподілу сумарного розміру страхового відшкодування. Найпростішою з них є модель індивідуальних ризиків, яка щодо договорів загального страхування передбачає таке:

• кількість n незалежних між собою договорів страхування фіксована та наперед визначена;
• для кожного договору страхування відомі статистичні властивості пов’язаного з ним можливого відшкодування Хk, де k — порядковий номер договору.

Зауважимо, що далеко не за кожним договором виплачується страхове відшкодування, тому деякі випадкові величини Хk (страхових відшкодувань за k-м договором) можуть дорівнювати нулю.

Загальний розмір страхового відшкодування за страховою подією, тобто розмір зобов’язань страховика, визначає сума незалежних між собою випадкових величин

.

У загальному випадку при використанні моделі індивідуального ризику величина Bk страхової премії за k-м договором страхування (k = 1, 2, …, n) розраховується з умови достатності із заданою довірчою ймовірністю отриманих страхових премій для виконання зобов’язань страховика за формулою

,

де M[Xk] — математичне сподівання відшкодувань за k-м договором страхування;

J — відносна страхова надбавка.

Основний внесок до величини Bk у загальному випадку вносить значення суми M[Xk], яку називають основною частиною нетто-премії. Додаткову суму JM[Xk] називають ризиковою (страховою) надбавкою до основної частини, яка із заданою довірчою ймовірністю враховує можливі небажані відхилення відносної частоти настання страхової події.

На практиці використовують кілька способів розрахунку відносної страхової надбавки при страхуванні визначеного ризику:

1) з фіксованим значенням для всіх договорів страхування

,

де tg — квантиль рівня g нормального розподілу;

M[Sn] — математичне сподівання сумарного розміру страхових відшкодувань;

D[Sn] — дисперсія сумарного розміру страхових відшкодувань;

2) зі змінним значенням, пропорційним дисперсії або середньоквадратичному відхиленню величини страхового відшкодування Хk за k-м договором, тобто у вигляді

, або , k = 1, 2, …, n.

Зауважимо, що у наведених співвідношеннях числові характеристики випадкових величин Хk страхового відшкодування за k-м договором визначаються залежно від наявної статистичної інформації про процес настання страхової події.

У разі, коли відомі числові характеристики сумарного розміру Sn страхових відшкодувань за страховим ризиком на підставі центральної граничної теореми, можна обчислити ймовірність достатності наявних страхових резервів розміру r для виконання зобов’язань страховика за цим ризиком:

,

або ймовірності розорення (недостатності наявних страхових резервів):

,

де F0(x) — інтегральна функція нормованого нормального розподілу.

Страхові тарифи в колективній моделі ризику. Cкладнішу модель розподілу сумарного розміру страхового відшкодування за визначеним ризиком виражає колективна модель ризику, яка розглядає не окремі договори страхування, а весь портфель договорів за даним страховим ризиком і передбачає таке:

• кількість n вимог про страхове відшкодування за даним ризиком на фіксованому проміжку часу є випадкова величина (як правило, з пуассонівським розподілом);
• значення послідовних страхових відшкодувань Y1, Y2, …, Yn за портфелем страхового ризику за цей проміжок часу утворюють послідовність випадкових величин, що однаково розподілені;
• випадкові величини n, Y1, Y2, …, Yn незалежні в сукупності.

Колективна модель враховує можливість неодноразового настання страхової події за одним договором страхування (що дуже важливо в договорах загального страхування), не обмежена умовою визначеності кількості майбутніх договорів страхування та розглядає завжди додатні значення відшкодувань Yk, k = 1, 2, …, n (на відміну від індивідуальної моделі, де значення відшкодувань Хk могли бути нульовими). Сумарний розмір S страхових відшкодувань за страховим ризиком у колективній моделі визначає випадкова сума незалежних між собою випадкових величин

.

За заданими числовими характеристиками кількості n вимог про страхове відшкодування та величиною Y одного страхового відшкодування в загальному випадку можемо знайти числові характеристики сумарного розміру S страхових відшкодувань за страховим ризиком у колективній моделі

;

.

Найпростішу і найпоширенішу модель розподілу кількості страхових вимог n визначає розподіл Пуассона з параметром l, коли

, k = 0, 1, 2, ...,

причому

M[n] = D[n] = l.

У цьому випадку розподіл випадкової величини S називають складним розподілом Пуассона, а її числові характеристики визначають за формулами

;

.

Зауважимо, що параметр l розподілу Пуассона випадкової величини n та інтегральну функцію F(t) = P{Y < t} розподілу значень випадкової величини Y одного страхового відшкодування називають параметрами складного розподілу Пуассона, що записують у вигляді S ~ CP(l; F). Крім того, у наведених співвідношеннях параметр l визначає середню за портфелем кількість страхових вимог (вимог про виплату страхового відшкодування) за одиницю часу (наприклад, за один рік).

У страховій практиці дуже важливий той факт, що сума незалежних випадкових величин, кожна з яких має складний розподіл Пуассона, також має складний розподіл Пуассона. Виконується твердження:

Якщо S1, S2, … — взаємно незалежні випадкові величини, кожна з яких розподілена за складним розподілом Пуассона Sk ~ CP(lk; Fk), k = 1, 2, …, та ряд — збіжний, то сума S = = S1 + S2 + ... також має складний розподіл Пуассона S ~ CP(l; F), параметри якого визначають співвідношення

.

Наведене твердження на практиці використовують у таких випадках:

• при об’єднанні m незалежних страхових портфелів, таких що сумарний розмір страхових відшкодувань Sk, k = 1, 2, …, m по кожному з них має складний розподіл Пуассона Sk ~ CP(lk; Fk); у результаті отримують об’єднаний портфель, сумарний розмір страхових відшкодувань S якого також буде визначати складний розподіл Пуассона S ~ CP( ; );
• при дослідженні сумарного за m років страхового відшкодування S за одним і тим самим страховим ризиком з незалежними річними сумарними страховими відшкодуваннями Sk, k = 1, 2, …, m, кожне з яких має складний розподіл Пуассона, можемо вважати, що S також має складний розподіл Пуассона.

У загальному випадку при використанні моделі колективного ризику величина B страхової премії для всіх договорів страхування однакова й визначається з умови достатності із заданою довірчою ймовірністю отриманих страхових премій для виконання зобов’язань страховика за формулою

B = l1 M[Y] (1 + J),

де M[Y] — математичне сподівання виплати одного страхового відшкодування;

l1 — середня на один договір кількість страхових вимог за одиницю часу;

J — відносна страхова надбавка.

Основний внесок до величини B у загальному випадку вносить значення суми l1 M[Y], яку називають основною частиною нетто-премії. Додаткову суму Jl1M[Y] називають ризиковою (страховою) надбавкою до основної частини, яка із заданою довірчою ймовірністю враховує можливі небажані відхилення відносної частоти настання страхової події.

Відносна страхова надбавка при страхуванні визначеного ризику має фіксоване для всіх договорів значення і розраховується за формулою

,

де tg — квантиль рівня g нормального розподілу;

M[S] — математичне сподівання сумарного розміру страхових відшкодувань;

D[S] — дисперсія сумарного розміру страхових відшкодувань.

Математичне сподівання M[Y] одного страхового відшкодування визначається залежно від наявної статистичної інформації про процес настання страхової події.

Середня на один договір кількість l1 страхових вимог за одиницю часу (у загальному випадку — за один рік) розраховується на підставі середньої за портфелем кількості l страхових вимог за одиницю часу (також — один рік):

,

де n — визначає кількість договорів страхового портфеля, для якого було знайдено оцінку параметра l.