Главная Прочие дисциплины Книги Математичне програмування - Наконечний С.І.

Математичне програмування - Наконечний С.І.

7.2. Геометрична інтерпретація задачі дробово-лінійного програмування

У разі, коли задача дробово-лінійного програмування містить лише дві змінні, для її розв’язування зручно скористатися графічним методом.

Нехай маємо таку задачу:

(7.4)

за умов:

(7.5)

, (7.6)

Спочатку, як і для звичайної задачі лінійного програмування будуємо геометричне місце точок системи нерівностей (7.5), що визначає деякий багатокутник допустимих розв’язків.

Допустимо, що , і цільова функція набуває деякого значення:

.

Після елементарних перетворень дістанемо:

або

. (7.7)

Останнє рівняння описує пряму, що обертається навколо початку системи координат залежно від зміни значень х1 та х2.

Розглянемо кутовий коефіцієнт нахилу прямої (7.7), що виражає цільову функцію:

. (7.8)

Отже, кутовий коефіцієнт являє собою функцію від Z. Для визначення умов зростання (спадання) функції (7.8) дослідимо зміну знака її похідної:

(7.9)

Використовуючи формулу (7.9), можна встановити правила пошуку максимального (мінімального) значення цільової функції:

1. якщо , то функція (7.8) є зростаючою, і за збільшення значення Z (значення цільової функції) кутовий коефіцієнт нахилу прямої (7.7) також збільшується. Тобто у разі, якщо , для відшукання точки максимуму необхідно повертати пряму, що описує цільову функцію, навколо початку системи координат у напрямку проти годинникової стрілки;
2. якщо , то функція (7.8) є спадною і за збільшення значення Z (значення цільової функції) кутовий коефіцієнт нахилу прямої (7.7) буде зменшуватись. Тому у разі, якщо , для відшукання точки максимуму необхідно повертати пряму, що описує цільову функцію, навколо початку системи координат у напрямку за годинниковою стрілкою.

При розв’язуванні задачі дробово-лінійного програмування графічним методом можливі такі випадки:

1. багатокутник розв’язків задачі обмежений і максимальне та мінімальне значення досягаються у його кутових точках;
2. багатокутник розв’язків задачі необмежений, однак існують кутові точки, в яких досягаються максимальне та мінімальне значення цільової функції;
3. багатокутник розв’язків задачі необмежений і досягається лише один із екстремумів;
4. багатокутник розв’язків задачі необмежений, точки екстремумів визначити неможливо.

Розв’яжіть графічно задачу дробово-лінійного програмування:

за умов:

.

Розв’язання. Побудуємо на площині область допустимих розв’язків задачі. Маємо трикутник АВС.

Рис. 7.1

Цільова функція задачі являє собою пряму, що обертається навколо початку системи координат (на рис. 7.1 позначена пунктиром). Отже, залежно від напрямку обертання точками максимуму та мінімуму будуть А і С.

Скористаємося правилами визначення максимального та мінімального значень цільової функції. Перевіримо умову

,

тобто для будь-якого значення Z функція є спадною, отже, зі зростанням Z кутовий коефіцієнт нахилу прямої, що виражає цільову функцію, зменшуватиметься, а тому відповідну пряму потрібно обертати навколо початку координат за годинниковою стрілкою.

Виконуючи зазначений порядок дій, маємо: С — точка максимуму, а точка А є точкою мінімуму цієї задачі.