Главная Прочие дисциплины Книги Математичне програмування - Наконечний С.І.

Математичне програмування - Наконечний С.І.

2.8.3. Оптимальний розв’язок. Критерій оптимальності плану

Симплексний метод уможливлює направлений перебір опорних планів, тобто перехід від одного плану до іншого, який є хоча б не гіршим від попереднього за значенням функціонала. Отже, окремим питанням стає вибір вектора, який необхідно вводити в базис при здійсненні ітераційної процедури симплексного методу.

Розглянемо задачу лінійного програмування (2.36)—(2.38).

Допустимо, що вона має опорні плани і вони є невиродженими. Розглянемо початковий опорний план виду (2.40):

Такому плану відповідає розклад за базисними векторами

(2.45)

та значення функціонала:

(2.46)

Кожен з векторів можна розкласти за векторами базису, причому у єдиний спосіб:

, (2.47)

тому такому розкладу відповідатиме і єдине значення функціонала:

. (2.48)

Позначимо через коефіцієнт функціонала, що відповідає вектору , та (їх називають оцінками відповідних векторів плану) . Тоді справедливим є таке твердження (умова оптимальності плану задачі лінійного програмування): якщо для деякого плану розклад всіх векторів у даному базисі задовольняє умову:

, (2.49)

то план є оптимальним розв’язком задачі лінійного програмування (2.36)—(2.38).

Аналогічно формулюється умова оптимальності плану задачі на відшукання мінімального значення функціонала: якщо для деякого плану розклад всіх векторів у даному базисі задовольняє умову

, (2.50)

то план Х0 є оптимальним розв’язком задачі лінійного програмування.

Отже, для того, щоб план задачі лінійного програмування був оптимальним, необхідно і достатньо, щоб його оцінки були невід’ємними для задачі на максимум та недодатними для задачі на мінімум.

Умови оптимальності планів задач лінійного програмування є наслідками двох теорем. Скориставшись введеними в даному параграфі допущеннями та позначеннями, сформулюємо відповідні теореми, а також наведемо їх доведення.

Теорема 2.6. Якщо для деякого вектора виконується умова , то план не є оптимальним і можна відшукати такий план Х, для якого виконуватиметься нерівність .

Доведення. Помножимо (2.47) і (2.48) на і віднімемо результати відповідно з (2.45) та (2.46). Отримаємо:

; (2.51)

(2.52)

У співвідношенні (2.52) до обох частин додається величина для . У (2.51) додатні, тому завжди можна знайти таке , що всі коефіцієнти при векторах були б невід’ємними, інакше кажучи, отримати новий план задачі виду:

, якому згідно з (2.52) відповідає таке значення функціонала:

. (2.53)

Оскільки за умовою теореми і , то , що й потрібно було довести.

Якщо розглядається задача на відшукання мінімального значення цільової функції, то формулюється така теорема.

Теорема 2.7. Якщо для деякого вектора виконується умова , то план не є оптимальним і можна побудувати такий план Х, для якого виконуватиметься нерівність .

Доведення аналогічне попередньому.